বিজ্ঞানভাষ সংবাদদাতা
Posted on ১৮ জুন, ২০২৫
ইউএনএসডব্লিউ সিডনির গণিতের অধ্যাপক নরম্যান ওয়াইল্ডবার্গার একটি যুগান্তকারী আবিষ্কার করেছেন। ফলে অবশেষে বীজগণিতের সবচেয়ে কঠিন সমস্যাগুলির একটির সমাধান বেরিয়েছে: উচ্চ-ডিগ্রি বহুপদী সমীকরণ । এই সমীকরণগুলি গ্রহের গতির ভবিষ্যদ্বাণী থেকে শুরু করে কোডিং সফ্টওয়্যার পর্যন্ত সবকিছুর জন্য অপরিহার্য। “উচ্চ-ডিগ্রি” বহুপদী সমীকরণে চলরাশি-কে (ভেরিয়েব্ল) পঞ্চম বা তারও বেশি ঘাতে উত্থাপিত করা হয়। গণিতবিদরা বহু শতাব্দী ধরে এর একটি সর্বজনীন সমাধান পদ্ধতি খোঁজার জন্য সংগ্রাম করেছেন। অবশেষে প্রফেসর ওয়াইল্ডবার্গার কম্পিউটার বিজ্ঞানী ডঃ ডিন রুবিনের সাথে একটি সাম্প্রতিক প্রকাশনায় বর্ণিত অভিনব সংখ্যাক্রম ব্যবহার করে এই সমাধানের একটি নতুন পদ্ধতি প্রকাশ করেছেন।
ব্যাবিলনীয়দের ‘বর্গ পূরণের পদ্ধতি’ অনেক উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিত শিক্ষার্থীদের কাছে পরিচিত দ্বিঘাত সূত্র রূপে। সংখ্যার মূল ব্যবহার করে এই পদ্ধতিটি ষোড়শ শতাব্দীতে তিন এবং চার ডিগ্রি বহুপদী সমাধানের জন্য প্রসারিত করা হয়েছিল। তারপর ১৮৩২ সালে ফরাসি গণিতবিদ এভারিস্ত গালোয়া দেখালেন, নিম্ন-ক্রমের বহুপদী সমাধানের জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলির পিছনে যে-গাণিতিক প্রতিসাম্যতা থাকে তা পঞ্চম এবং উচ্চতর ডিগ্রির বহুপদীগুলির ক্ষেত্রে অসম্ভব। তিনি দেখালেন, কোনো সাধারণ সূত্রই এগুলোর পূর্ণ সমাধান করতে পারবে না। উচ্চ-ডিগ্রি বহুপদীগুলির জন্য এর আনুমানিক সমাধানগুলি তখন থেকে তৈরি করা হয়েছে। নানা ক্ষেত্রে সেগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃতও হয়। কিন্তু অধ্যাপক ওয়াইল্ডবার্গার বলেন, এগুলি বিশুদ্ধ বীজগণিতের অন্তর্গত নয়। তাঁর মতে, সমস্যাটি ধ্রুপদী সূত্রে তৃতীয় বা চতুর্থ মূল ব্যবহার করে। র্যা ডিকেলগুলি সাধারণত অমূলদ সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে। অমূলদ রাশি একটি দশমিক সংখ্যা যা পুনরাবৃত্তি না করে অসীম পর্যন্ত প্রসারিত এবং যাকে সরল ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যায় না। যেমন ৭-র ঘনমূল হল ১.৯১২৯১১৮… যা চিরকাল প্রসারিত হবে। অধ্যাপক ওয়াইল্ডবার্গার বলেন, এর অর্থ, আসল উত্তরটি কখনোই সম্পূর্ণরূপে গণনা করা যাবে না। কারণ তার জন্য অসীম পরিশ্রম এবং মহাবিশ্বের চেয়েও বড় একটি হার্ড ড্রাইভের প্রয়োজন হবে। এই কারণেই তিনি অমূলদ সংখ্যায় বিশ্বাস করেন না। তিনি বলেন, অমূলদ সংখ্যাগুলি অসীমের একটি অস্পষ্ট ধারণার উপর নির্ভরশীল। এটি গণিতে যৌক্তিক সমস্যার সৃষ্টি করে। তিনি এই গণিতকে সমূলে প্রত্যাখ্যান করেছেন। তাঁর গণিতের পিছনে আছে মূলদ ত্রিকোণমিতি এবং সর্বজনীন হাইপারবোলিক জ্যামিতি। এই ক্ষেত্রেই তিনি প্রসিদ্ধ।
বহুপদী সমাধানের জন্য তাঁর এই নতুন পদ্ধতিতে র্যা ডিকাল এবং অমূলদ সংখ্যা এড়িয়ে চলা হয়েছে। তার বদলে ‘পাওয়ার (ঘাত) সিরিজ’ নামক বহুপদীগুলির বিশেষ এক্সটেনশনের উপর নির্ভর করা হয়েছে। এদের ক্ষেত্রে চলরাশির ঘাত সহ অসীম সংখ্যক পদ থাকতে পারে। তিনি বলেন, পাওয়ার সিরিজটি কেটে ফেলার মাধ্যমে তাঁরা এই পদ্ধতিটি কাজ করছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য আনুমানিক সংখ্যাসূচক উত্তর বের করতে সক্ষম হয়েছেন। একটা পদ্ধতির প্রমাণ শেষ পর্যন্ত, গাণিতিক যুক্তির উপরেই দাঁড়িয়ে থাকে। তাঁর পদ্ধতিতে জটিল জ্যামিতিক সম্পর্কের প্রতিনিধিত্বকারী সংখ্যার অভিনব ক্রম ব্যবহার করা হয়েছে। এই ক্রমগুলি সমন্বয়বিদ্যার (combinatorics) অন্তর্গত, যা গণিতের একটি বিশেষ শাখা। সবচেয়ে বিখ্যাত সমন্বয় ক্রমটির নাম ‘কাতালান সংখ্যা’। এটি তিন বা ততোধিক বাহুযুক্ত বহুভুজকে ত্রিভুজে বিভক্ত করার উপায় বর্ণনা করে। কম্পিউটার অ্যালগরিদম, ডেটা স্ট্রাকচার ডিজাইন এবং গেম তত্ত্ব প্রভৃতিতে কাতালান সংখ্যার গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ ঘটেছে। এমনকি জীববিজ্ঞানেও আর এন এ অণুর সম্ভাব্য ভাঁজের প্যাটার্ন গণনার কাজে এটি সহায়ক। একটি সাধারণ দুই-ডিগ্রি বহুপদী ব্যবহার করেই এ গণনা করা যেতে পারে। প্রফেসর ওয়াইল্ডবার্গার বলেছেন, “ কাতালান সংখ্যাগুলি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে নিবিড়ভাবে জড়িত বলে মনে করা হয়। আমাদের উদ্ভাবন এই ধারণার মধ্যে নিহিত যে আমরা যদি উচ্চতর সমীকরণ সমাধান করতে চাই, তাহলে আমাদের কাতালান সংখ্যাগুলির উচ্চতর অনুরূপগুলির সন্ধান করা উচিত”। উনি জানিয়েছেন, এর সম্ভাবনা অনেক। এ তো সবে শুরু।
সূত্র : A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations,and the Geode by N.J. Wildberger and Dean Rubine ; 8th April,2025 ; The American Mathematical Monthly