বর্ণালী জ্যামিতি ও ঢোলের শব্দ

একজন অধ্যাপক এবং তার সহযোগীবৃন্দ চাকতি বা ডিস্কের ‘আইগেনভ্যালু’ সম্পর্কে পোলিয়ার বিখ্যাত অনুমানটি প্রমাণ করেছেন। ‘আইগেন’ একটি জার্মান শব্দ যার অর্থ ‘যথাযথ’ বা ‘বৈশিষ্ট্যপূর্ণ’ । অতএব, ‘আইগেনভ্যালু’ শব্দটি একটি গাণিতিক সমীকরণের চারিত্রিক দিক নির্দেশ করে। রৈখিক রূপান্তর বিশ্লেষণে প্রধানত আইগেন ভেক্টর এবং আইগেন মানগুলি ব্যবহৃত হয়। আইগেনভ্যালু বিশ্লেষণ, বা মোডাল বিশ্লেষণ, এক ধরণের কম্পন বিশ্লেষণ যা কোনও কাঠামোর প্রাকৃতিক কম্পন অর্জন করতে সাহায্য করে।

ঢোলের শব্দ থেকে কি তার আকৃতি নির্ণয় করা সম্ভব ? মন্ট্রিয়াল বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত ও পরিসংখ্যান বিভাগের অধ্যাপক ইওসিফ পোলটেরোভিচ এই ধরণের প্রশ্ন নিয়ে গবেষণা করতে পছন্দ করেন। তরঙ্গ বিস্তারের সাথে জড়িত ভৌত ঘটনা বোঝার জন্য তিনি গণিতের একটি বিশেষ শাখার সাহায্য নিয়েছেন। তার নাম ‘বর্ণালী জ্যামিতি’। ১৯৫৪ সালে বিশিষ্ট হাঙ্গেরীয়-আমেরিকান গণিতবিদ জর্জ পোলিয়া এটি প্রণয়ন করেছিলেন। বর্ণালী জ্যামিতি গণিতের এমন একটি ক্ষেত্র যা ম্যানিফোল্ডের জ্যামিতিক কাঠামো এবং বিশেষভাবে সংজ্ঞায়িত ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের বর্ণালীর মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করে। এই অনুমানটি একটি গোলাকার ঢোলের বা ড্রামের কম্পন সংক্রান্ত অনুমানের উপর নির্ভরশীল – গাণিতিক ভাষায়, একটি চাকতির আইগেন মানের উপর নির্ভরশীল। ১৯৬১ সালে পলিয়া নিজেই ত্রিভুজ এবং আয়তক্ষেত্রের মতো সমতলকে টালি করে এমন ডোমেনের জন্য তার অনুমান নিশ্চিত করেছিলেন। গত বছর পর্যন্ত, অনুমানটি কেবল এই ক্ষেত্রেই পরিচিত ছিল। কিন্তু চাকতির ক্ষেত্রটি, তার আপাত সরলতা সত্ত্বেও, অধরা রয়ে গিয়েছিল।

গত গ্রীষ্ম থেকে, পোলটেরোভিচ এবং নিকোলে ফিলোনভ, মাইকেল লেভিটিন এবং ডেভিড শের প্রমুখ তাঁর আন্তর্জাতিক সহযোগীরা কাজ করে এই বর্ণালী জ্যামিতির একটি বিখ্যাত অনুমানের একটি বিশেষ নিদর্শন প্রমাণ করেছেন। পোল্টেরোভিচ বলেন , “কল্পনা করুন, একটি অসীম মেঝে একই আকৃতির টালি দিয়ে ঢাকা, যা একসাথে মিলে জায়গাটি পূরণ করবে। বর্গক্ষেত্র বা ত্রিভুজ দিয়ে টালি করা যেতে পারে, কিন্তু চাকতি দিয়ে নয়। টালি লাগানোর জন্য চাকতি আসলে ভালো আকার নয়।”

২০২৩ সালের জুলাই মাসে গাণিতিক জার্নাল ‘ইনভেনশনস ম্যাথেমেটিকে’ প্রকাশিত একটি প্রবন্ধে , গবেষকরা দেখান যে পোলিয়ার অনুমান চাকতির ক্ষেত্রেও সত্য, যার সমাধান বিশেষভাবে কঠিন বলে বিবেচিত। যদিও তাদের ফলাফল মূলত তাত্ত্বিক ক্ষেত্রের, কিন্তু তাদের প্রমাণপদ্ধতির প্রয়োগ গণনামূলক গণিত এবং সংখ্যাসূচক গণনায় রয়েছে। লেখকরা এখন এই পথটি অনুসন্ধান করছেন।

পোল্টেরোভিচ-এর কথায়, ” গণিত একটি মৌলিক বিজ্ঞান হলেও, কিছু কিছু দিক থেকে এটি খেলাধুলা এবং শিল্পকলার মতোই। দীর্ঘ-প্রচলিত অনুমান প্রমাণ করার চেষ্টা একটি খেলা। একটি মার্জিত সমাধান খুঁজে বের করা একটি শিল্প। এবং অনেক ক্ষেত্রেই সুন্দর গাণিতিক আবিষ্কারগুলি কার্যকর হয়ে ওঠে । ভালো গণিতবিদ হিসেবে আপনাকে কেবল সঠিক প্রয়োগ খুঁজে বের করতে হবে। ”

সূত্র : “Polya’s conjecture for Euclidean balls” by Nikolay Filonov, Michael Levitin, Iosif Polterovich and David A. Sher, 5 June 2023, Inventiones mathematicae.
DOI: 10.1007/s00222-023-01198-1