সসীম ভলিউম পদ্ধতি ও সি এফ ডি-তে তার প্রয়োগ

সসীম আয়তন পদ্ধতি (Finite Volume Method/FVM) একটি সংখ্যাসূচক কৌশল। এটি কম্পিউটেশনাল ফ্লুইড ডাইনামিক্স (CFD)-এর ক্ষেত্রে ফ্লুইড প্রবাহের সমস্যা নিয়ন্ত্রণকারী আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত। জটিল জ্যামিতির মাধ্যমে ফ্লুইড প্রবাহের অনুকরণ এবং বিভিন্ন প্রকৌশল অ্যাপ্লিকেশনে ফ্লুইড প্রবাহ পরিঘটনার আচরণ অধ্যয়নের ক্ষেত্রে এ পদ্ধতি বিশেষভাবে কার্যকর ।

সসীম আয়তন পদ্ধতি ফ্লুইড প্রবাহ এবং তাপ স্থানান্তর সম্পর্কিত সমস্যা সমাধানের জন্য বিশেষভাবে কার্যকর । কম্পিউটেশনাল ডোমেনকে ছোট নিয়ন্ত্রণ আয়তন বা কোষে (cell) বিভক্ত করে, এ পদ্ধতি জটিল জ্যামিতির সঠিক উপস্থাপনা এবং ভৌত পরিমাণ সংরক্ষণকে সম্ভব করে তোলে। এই কোষগুলি তাদের ভিন্ন ভিন্ন দিকের মাধ্যমে পরস্পরের সাথে সংযুক্ত থাকে । এর মাধ্যমে কোষগুলি একটি বিচ্ছিন্ন জাল তৈরি করে। প্রতিটি নিয়ন্ত্রণ আয়তন, ডোমেনের একটি ছোট অংশের প্রতিনিধিত্ব করে এবং এতে সীমিত পরিমাণ ফ্লুইড বা উপাদান থাকে। ফ্লুইড বা উপাদানের আচরণ বর্ণনাকারী নিয়ন্ত্রক সমীকরণগুলিকে প্রতিটি নিয়ন্ত্রণ আয়তনের উপর একত্রিত করা হয়। এর ফলে তারা ক্রমাগত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে বিচ্ছিন্ন বীজগণিতীয় সমীকরণে (Discrete Algebraic Equation) রূপান্তরিত হয়। এর সমাধান অনেক সহজ । সসীম আয়তন পদ্ধতির একটি প্রধান সুবিধা হল জটিল জ্যামিতি নিয়ে কাজ করার ক্ষমতা। নিয়ন্ত্রণ আয়তন নানা আকারের হতে পারে, যা অনিয়মিত সীমানা (irregular boundaries) এবং জটিল প্রবাহ নিদর্শনগুলির সঠিক উপস্থাপনাকে সম্ভব করে। এই নমনীয়তা থাকায় পদ্ধতিটি বিমানের ডানায় ফ্লুইড প্রবাহ অনুকরণ থেকে শুরু করে ইলেকট্রনিক ডিভাইসে তাপ স্থানান্তর বিশ্লেষণ পর্যন্ত বিস্তৃত অ্যাপ্লিকেশনের উপযোগী হয়ে ওঠে।

সসীম আয়তন পদ্ধতি দুটি মৌলিক নীতির উপর নির্ভরশীল: সংরক্ষণ (Conservation) এবং বিচ্ছিন্নকরণ (Discretization)। ভর, ভরবেগ এবং শক্তির মতো সংরক্ষণ নীতিগুলি প্রতিটি নিয়ন্ত্রণ আয়তনের মধ্যে সংরক্ষিত থাকে। এর অর্থ, মোট পরিমাণগুলি একটি নিয়ন্ত্রণ আয়তনের মধ্যে স্থির থাকে, তার মধ্যে কোনও পরিবর্তন ঘটলেও। সসীম আয়তন পদ্ধতি সংরক্ষণ এটা নিশ্চিত করে যে পদ্ধতিটি সঠিক এবং এ থেকে নির্ভরযোগ্য ফলাফল বেরিয়ে আসে। বিচ্ছিন্নকরণের দ্বারা নিয়ন্ত্রণ আয়তনের কেন্দ্রগুলিতে ফ্লুইড প্রবাহের বৈশিষ্ট্য, যেমন বেগ এবং চাপ, আনুমানিকভাবে নির্ণয় করা যায়। এইসব বৈশিষ্ট্য তখন নিয়ন্ত্রণ আয়তনের ভিন্ন ভিন্ন দিকে প্রবাহ গণনা করতে কাজে লাগে, যা সীমানা জুড়ে পরিমাণের সংরক্ষণ নিশ্চিত করে। প্রবাহগুলি সংলগ্ন নিয়ন্ত্রণ আয়তনের মধ্যে ভর, ভরবেগ বা শক্তির স্থানান্তরের প্রতিনিধি। এই প্রবাহগুলি সঠিকভাবে গণনা করে, সসীম আয়তন পদ্ধতি প্রবাহ বা তাপ স্থানান্তর পরিঘটনার জটিল বিবরণ ধরতে পারে। এই পদ্ধতি বিভিন্ন সীমানা শর্ত, যেমন প্রবাহের অন্তর্গমন, বহির্গমন এবং কঠিন দেয়ালের বৈশিষ্ট্যকে অন্তর্ভুক্ত করার সুযোগ করে দেয়। এই শর্তগুলি নিয়ন্ত্রণ আয়তনের দিকগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, যা ডোমেনের মধ্যে ফ্লুইড বা উপাদানের আচরণকে প্রভাবিত করে। সীমানা শর্তগুলিকে সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করার দ্বারা এই পদ্ধতি পাইপের অস্থির প্রবাহ থেকে শুরু করে পরিবাহী তাপ স্থানান্তর পর্যন্ত বিস্তৃত বাস্তব-বিশ্বের পরিস্থিতির অনুকরণে সক্ষম।

সসীম আয়তন পদ্ধতির বিভিন্ন ধাপের আরও বিস্তারিত বিবরণ খানিকটা এরকম :

১. ডোমেন ডিসক্রিটাইজেশন

কম্পিউটেশনাল ডোমেনটিকে সীমিত সংখ্যক নিয়ন্ত্রণ ভলিউমে বিভক্ত করা (যাকে কোষ বা উপাদানও বলা হয়)।

২. ইন্টিগ্রাল ফর্মুলেশন

প্রতিটি নিয়ন্ত্রণ ভলিউমের উপর নিয়ন্ত্রক আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশানগুলিকে অন্তরকলন পদ্ধতির মধ্যে দিয়ে নিয়ে যাওয়া হয়। এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে অবিচ্ছেদ্য আকারে রূপান্তরিত করে, যা প্রতিটি নিয়ন্ত্রণ ভলিউমের মধ্যে ভৌত পরিমাণের জন্য সংরক্ষণ নীতিগুলিকে প্রকাশ করে।

৩. বিচ্ছিন্নকরণ

নিয়ন্ত্রণ আয়তনের ভিন্ন দিকে এবং কেন্দ্রবিন্দুতে প্রবাহ এবং উৎস পদগুলির আনুমানিক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে অন্তরকলনগুলিকে বিচ্ছিন্ন করা হয়। এই ধাপটি অন্তরকলন সমীকরণগুলিকে বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেমে রূপান্তরিত করে। ফ্লুইড মেকানিক্সে উৎস হলো এমন একটি বিন্দু বা অঞ্চল যেখান থেকে ফ্লুইডটি প্রবাহ ক্ষেত্রে প্রবেশ করে। অন্যদিকে সিঙ্ক হলো এমন একটি বিন্দু বা অঞ্চল যেখান দিয়ে ফ্লুইডটি বেরিয়ে যায়। ফ্লাক্স বলতে বোঝায় যে হারে একটি ফ্লুইডের পরিমাণ (যেমন ভর, আয়তন, বা ভরবেগ) একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে যায়। মূলত, ফ্লাক্স একটি সীমানা জুড়ে কোনো বৈশিষ্ট্যের প্রবাহের পরিমাণ নির্ধারণ করে।

৪. সমাধান

কোষ কেন্দ্র বা নোডে অজানা চলকগুলির (যেমন, বেগ, চাপ, তাপমাত্রা) সমাধান পেতে পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করে বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা হয়।

গ্রিড বিন্যাস, সমাধান অ্যালগরিদম এবং স্থিতিশীল করার কৌশলের বিভিন্নতা থেকে বিভিন্ন ধরণের FVM উদ্ভূত হয়। মূল শ্রেণীবিভাগগুলির মধ্যে রয়েছে কোষ-কেন্দ্রিক বনাম মুখ-কেন্দ্রিক (বা শীর্ষ-কেন্দ্রিক) পদ্ধতি, এবং অন্তর্নিহিত (Implicit) বনাম স্পষ্ট (Explicit) সমাধান অ্যালগরিদম। সংখ্যাসূচক পদ্ধতিতে, স্পষ্ট এবং অন্তর্নিহিত অ্যালগরিদ্‌ম হলো সময়-নির্ভর সমস্যার সমাধান গণনা করার দুটি ধরণ। স্পষ্ট পদ্ধতিগুলি বর্তমান অবস্থা থেকে সরাসরি একটি সিস্টেমের ভবিষ্যত অবস্থা গণনা করে, অন্যদিকে অন্তর্নিহিত পদ্ধতিগুলিতে ভবিষ্যতের অবস্থা নির্ধারণের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা প্রয়োজন, বর্তমান এবং ভবিষ্যতের উভয় অবস্থাই যার অন্তর্ভুক্ত।

সসীম আয়তন পদ্ধতি বাস্তবায়নে কিছু সমস্যা সৃষ্টি হতে পারে, বিশেষ করে জটিল জ্যামিতি বা অসংগঠিত ঘনজাল (unstructured meshes) নিয়ে কাজ করার সময়। কম্পিউটার বিজ্ঞানে একটি অসংগঠিত জাল বলতে বোঝায় জালি কোষের একটি সমাহার যা কাঠামো-পৃষ্ঠের সাথে সামঞ্জস্য বজায় রাখে। এটিকে জালি কোষের বিভিন্ন আকার এবং আকৃতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা আয়তনের অসঙ্গতি সহ জটিল ত্রিমাত্রিক আকারের মডেলিং করার সুযোগ করে দেয়। নির্ভরযোগ্য ফলাফল পেতে জাল অভিসৃতি, স্থিতিশীলতা এবং নির্ভুলতার মতো সমস্যাগুলি সূক্ষ্মতার সাথে সমাধান করা প্রয়োজন। উপরন্তু, সীমানা অবস্থার পরিমার্জন এবং উপযুক্ত সংখ্যাসূচক পরিকল্পনা নির্বাচনের মাধ্যমে সমাধানের নির্ভুলতার উপর উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাব ফেলতে পারে।

সসীম আয়তন পদ্ধতি (FVM)-র সাম্প্রতিক উন্নয়নের মধ্যে রয়েছে উচ্চ-মানের নির্ভুলতা, জটিল জ্যামিতি নিয়ে কাজ করা , কাঠামোগত বলবিদ্যা (Structural Mechanics) এবং গণনামূলক বায়ু-শব্দবিজ্ঞান-এর মতো বিশেষ বিশেষ ক্ষেত্রে প্রায়োগিক অগ্রগতি। বিশেষ করে, অসংগঠিত গ্রিডের জন্য উচ্চ-ক্রম বর্ণালী ভলিউম (High-order Spectral Volume) পদ্ধতিগুলির বিকাশে অগ্রগতি হয়েছে, যা অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায় বিচ্ছিন্নতার উন্নত চিত্র তুলে ধরতে সক্ষম হয়েছে। বর্ণালী ভলিউম পদ্ধতি হল হাইপারবোলিক সংরক্ষণ নীতিগুলির সমাধানের একটি উচ্চ-ক্রম সংখ্যাসূচক পদ্ধতি, বিশেষ করে অসংগঠিত গ্রিডগুলির জন্য। এছাড়া, মুক্তপৃষ্ঠ প্রবাহ অনুকরণের জন্য অসংগঠিত চলমান জালের সাথে সসীম আয়তন পদ্ধতি ব্যবহার করা হচ্ছে। অসঙ্গতিপূর্ণ জালের নির্ভুলতা এবং অভিসৃতি উন্নত করার জন্য উচ্চস্তরের গবেষণা চলেছে । বিশেষ করে স্থানীয় স্তরের বিচ্ছিন্নতার সাথে মোকাবিলা করার সময়।

উপসংহারে বলা যায় , সসীম নিয়ন্ত্রণ পদ্ধতি হল কম্পিউটেশনাল ফ্লুইড ডাইনামিক্স-এ ব্যবহৃত এক বহুমুখী এবং শক্তিশালী সংখ্যাসূচক কৌশল যা বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক গবেষণায় অপরিহার্য হয়ে উঠেছে।

তথ্যসূত্র : The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics by F Moukalad, et.al ; Springer (2016)