ফাইনম্যান ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের পদ্ধতি

মেইনজ বিশ্ববিদ্যালয়ের বিজ্ঞানীরা অত্যন্ত জটিল ফাইনম্যান ইন্টিগ্রাল মূল্যায়নের একটি পদ্ধতি আবিষ্কার করেছেন।
ক্ষুদ্রতম স্কেলে পৃথিবীকে কেমন দেখায়? এই প্রশ্নটি গবেষকরা সুইজারল্যান্ডের CERN-এ অবস্থিত লার্জ হ্যাড্রন কোলাইডারের মতো কণা ত্বরণকারী পরীক্ষার মাধ্যমে সমাধান করার চেষ্টা করছেন । এই পরীক্ষাগুলির ফলাফল মূল্যায়ন করার জন্য, তাত্ত্বিক পদার্থবিদরা স্ট্যান্ডার্ড মডেলের উপর ভিত্তি করে মৌলিক কণাগুলির মধ্যে মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে বর্তমান ধারণা তৈরি করেন । এর মাধ্যমেই তারা উত্তরোত্তর নির্ভুল পূর্বাভাস দিতে পারেন। এই পূর্বাভাসগুলির একটি মূল উপাদান হল তথাকথিত ফাইনম্যান ইন্টিগ্রেল। এটি একটি বিশেষ ধরণের গাণিতিক পদ্ধতি। মেইনজ বিশ্ববিদ্যালয়ের PRISMA+ ক্লাস্টার অফ এক্সেলেন্সের একটি দল এ নিয়ে কাজ করেছেন, যার মধ্যে আছেন ডঃ সেবাস্তিয়ান পোগেল, ডঃ জিং ওয়াং এবং অধ্যাপক ডঃ স্টেফান ওয়েইনজিয়েরল । সম্প্রতি তারা দক্ষতার সাথে ক্যালাবি-ইয়াউ জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত এই ফাইনম্যান ইন্টিগ্রেলগুলির একটি নতুন শ্রেণী গণনা করার জন্য পদ্ধতি তৈরি করেছেন। যার ফলে কণা পদার্থবিদ্যার জগতের ভিত্তি স্থাপনকারী গাণিতিক কাঠামোকে আরও ভালভাবে বোঝা যাবে। এই গবেষণাটি বিখ্যাত জার্নাল ফিজিক্যাল রিভিউ লেটারসে প্রকাশিত হয়েছে। অধ্যাপক ডঃ স্টেফান ওয়েইনজিয়েরল ব্যাখ্যা করে বলেছেন, “উপ-পরমাণু কণার মিথস্ক্রিয়ার সময় বিশেষ কিছু ঘটে – যেকোনো সংখ্যক অতিরিক্ত কণা অস্থায়ীভাবে অস্তিত্ববান হতে পারে এবং বিলুপ্ত হতে পারে। এই ধরনের মিথস্ক্রিয়ার তাত্ত্বিক ভবিষ্যদ্বাণী করার সময়, এই অতিরিক্ত কণাগুলিকে যত বেশি বিবেচনা করা হবে, প্রকৃত ফলাফলের ক্ষেত্রে গণনা তত বেশি নির্ভুল হবে।” ফাইনম্যান ইন্টিগ্রাল হল গাণিতিক পদ্ধতি যা এই প্রভাবকে বর্ণনা করে । কণাগুলি কীভাবে আবির্ভূত হতে পারে এবং তাৎক্ষণিকভাবে আবার অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে তার সমস্ত সম্ভাব্য উপায়গুলিকে এটি কার্যকরভাবে ব্যাখ্যা করে।

ফাইনম্যান ইন্টিগ্রালের জটিলতা নির্ধারণের এক গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এর জ্যামিতি। অনেক সরলতম ফাইনম্যান ইন্টিগ্রালের জ্যামিতি একটি গোলক বা টরাসের মতো । টরাস মানে আংটি বা ডোনাট আকৃতি। এই ধরনের ইন্টিগ্রালগুলি আজকাল ভালভাবে বোঝা যায়। তবে, জ্যামিতির সম্পূর্ণ পরিবার রয়েছে, তথাকথিত ক্যালাবি-ইয়াউ জ্যামিতি । এটি হল ডোনাট জ্যামিতির উচ্চ মাত্রার সাধারণীকরণ। এগুলি বিশুদ্ধ গণিতের গবেষণার একটি সমৃদ্ধ ক্ষেত্র হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে এবং গত দশকগুলিতে স্ট্রিং থিওরিতে ব্যাপকভাবে প্রযুক্ত হয়েছে।

সাম্প্রতিক বছরগুলিতে আবিষ্কৃত হয়েছে যে অনেক ফাইনম্যান ইন্টিগ্রাল ক্যালাবি-ইয়াউ জ্যামিতির সাথে যুক্ত। তবে, জ্যামিতির জটিলতার কারণে, এই ধরনের ইন্টিগ্রালগুলির দক্ষ মূল্যায়ন একটি চ্যালেঞ্জ হিসেবে রয়ে গেছে।
ডঃ সেবাস্তিয়ান পোগেল, ডঃ জিং ওয়াং এবং অধ্যাপক ডঃ স্টেফান ওয়েইনজিয়েরল তাদের সাম্প্রতিক প্রকাশনায়, একটি পদ্ধতি উপস্থাপন করেছেন যা তাদের ক্যালাবি-ইয়াউ জ্যামিতির ইন্টিগ্রালগুলি মোকাবেলা করার সুযোগ দেয়। তারা ক্যালাবি-ইয়াউ ফাইনম্যান ইন্টিগ্রালের একটি সরল পরিবার অধ্যয়ন করেছেন, যাকে ব্যানানা ইন্টিগ্রাল বলা হয়। নামটি ফাইনম্যান গ্রাফ থেকে নেওয়া হয়েছে যেখানে কলার আকৃতি লক্ষ্য করা যায়। এর ফলে তারা প্রথমবারের মতো এই ইন্টিগ্রালগুলির জন্য একটি তথাকথিত ফর্ম খুঁজে পেতে সক্ষম হয়েছেন। এই ফর্মটি আমাদেরকে প্রায় নির্বিচারে ইন্টিগ্রালগুলিকে দ্রুত মূল্যায়ন করতে সাহায্য করে। ডঃ সেবাস্তিয়ান পোগেলের মতে, এটি উচ্চ-শক্তি পদার্থবিজ্ঞানের পরীক্ষা-নিরীক্ষার সাথে বিশুদ্ধ গণিতের মেলবন্ধনের এক চমৎকার উদাহরণ।

সূত্র: “Taming Calabi-Yau Feynman Integrals: The Four-Loop Equal-Mass Banana Integral” by Sebastian Pögel, Xing Wang and Stefan Weinzierl, 8 March 2023, Physical Review Letters.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.130.101601